**Every** **symbolic** **product**, **involving** **several** **sets** **of** **cogredient** **variables**, **can** **be** **exhibited** **as** **a** **sum** **of** **terms**, **each** **of** **which** **is** **a** **polar** **multiplied** **by** **a** **product** **of** **powers** **of** **the** **determinant** **factors** (**xy**), (**xz**), (**yz**),...

**W**...**xz** **to** **be** **reduced** **either** **to** **the** **form** **g** **i** **g** **where** **g** **is** **a** **symbol** **of** **the** **series** **a**, **b**, **c**,...

**The** **line** **XZ** **consists** **of** **a** **series** **of** **lengths**, **as** **XA**, **AB** ...

+X15; **I** -**xz**.**I-x** 2 **z**.

**But**, **assuming** **the** **distributive** **principle**, **the** **product** **of** **two** **lines** **appeared** **to** **give** **the** **expression** **xx**' - **yy**' - **zz**' +**i**(**yx**' +**xy**')+**j**(**xz**' **i** **j** (**yz**' +**zy**').

**He** **had** **now** **the** **following** **expression** **for** **the** **product** **of** **any** **two** **directed** **lines**: **xx**' - **yy** - **zz**' +**i**(**yx**'+ **xy**')+ **j**(**xz**' '+**zx**') +**ij**(**yz**' - **zy**').

**And** **now** **a** **directed** **line** **in** **space** **came** **to** **be** **represented** **as** **ix**+**jy**+**kz**, **while** **the** **product** **of** **two** **lines** **is** **the** **quaternion** - + **yy** ' +2z') +**i** (**yz** ' - **zy**') +**j** (**zx**' - **xz**') +**k** (**x** **y** ' - **yx**').

**Now** **if** **the** **displacement** **z** **be** **everywhere** **very** **small**, **the** **curvature** **in** **the** **planes** **parallel** **to** **xz** **and** **yz** **will** **be** **d** 2 **z**/**dx** 2 **and** **d** 2 **z**/**dy** **e** **respectively**, **and** **if** **T** **is** **the** **surface-tension** **the** **whole** **upward** **force** **will** **be** **d** 2 **z** d2zl **T** (4x 2 + + (**p** - **o**) **gz**.