**Are** **certain** **numbers** **known** **as** **Bernoulli'****s** **numbers**, **and** **the** **terms** **within** **the** **bracket**, **after** **the** **first**, **have** **signs** **alternately** + **and** -.

**The** **values** **of** **the** **first** **ten** **of** **Bernoulli'****s** **numbers** **are** B1= **t**, B2= 1, B3 =412, B4 =30, B5 =6 = 6 9 1 B7 = **l**, **B** =3 =4 4 **fl**, **IV**.

**Are** **Bernoulli'****s** **numbers** (ï¿½ 46 (**v**.)), **although** **the** **series** **is** **not** **convergent**.

**Equation** (3) **is** **called** **Bernoulli'****s** **equation**, **and** **may** **be** **interpreted** **as** **the** **balance-sheet** **of** **the** **energy** **which** **enters** **and** **leaves** **a** **given** **tube** **of** **flow**.

**If** **homogeneous** **liquid** **is** **drawn** **off** **from** **a** **vessel** **so** **large** **that** **the** **motion** **at** **the** **free** **surface** **at** **a** **distance** **may** **be** **neglected**, **then** **Bernoulli'****s** **equation** **may** **be** **written** **H** = **PIP--z** - F4 2 / 2g = **P**/ **p** +**h**, (8) **where** **P** **denotes** **the** **atmospheric** **pressure** **and** **h** **the** **height** **of** **the** **free** **surface**, **a** **fundamental** **equation** **in** **hydraulics**; **a** **return** **has** **been** **made** **here** **to** **the** **gravitation** **unit** **of** **hydrostatics**, **and** **Oz** **is** **taken** **vertically** **upward**.

**Newton** **gave** **no** **proof**, **and** **it** **was** **in** **the** **Ars** **Conjectandi** (1713) **that** **James** **Bernoulli'****s** **proof** **for** **positive** **integral** **values** **of** **the** **exponent** **was** **first** **published**, **although** **Bernoulli** **must** **have** **discovered** **it** **many** **years** **previously**.

**That** **is**, **the** **length** **of** **the** **pipe** **must** **be** **increased** **by** **o** 82 **R** **before** **applying** **Bernoulli'****s** **theory**.