**Aronhold**, **C**. **Hermite**, **Francesco** **Brioschi**, **R**.**F**.**A**.

**Two** **methods** **of** **treatment** **have** **been** **carried** **on** **in** **parallel** **lines**, **the** **unsymbolic** **and** **the** **symbolic**; **both** **of** **these** **originated** **with** **Cayley**, **but** **he** **with** **Sylvester** **and** **the** **English** **school** **have** **in** **the** **main** **confined** **themselves** **to** **the** **former**, **whilst** **Aronhold**, **Clebsch**, **Gordan**, **and** **the** **continental** **schools** **have** **principally** **restricted** **themselves** **to** **the** **latter**.

**Symbolic** **Form**.-**Restricting** **consideration**, **for** **the** **present**, **to** **binary** **forms** **in** **a** **single** **pair** **of** **variables**, **we** **must** **introduce** **the** **symbolic** **form** **of** **Aronhold**, **Clebsch** **and** **Gordan**; **they** **write** **the** **form** **Iln** **n** **n-**1 **n-**1 **n** **n** **n** **aixi**+a2x2) = 44+(1) **a** **l** **a** 2 **x** 1 x2+...+a2.x2=**az** **wherein** **al**, a2 **are** **umbrae**, **such** **that** **n-**1 **n-**1 **n** **a** 1, **a** 1 **a** 2, ...**a** 1 **a** 2, a2 **are** **symbolical** **respreentations** **of** **the** **real** **coefficients** ï¿½**o**, **ai**,...

**The** **Aronhold** **process**, **given** **by** **the** **operation** **a** **as** **between** **any** **two** **of** **the** **forms**, **causes** **such** **an** **invariant** **to** **vanish**.

**The** **ternary** **cubic** **has** **been** **investigated** **by** **Cayley**, **Aronhold**, **Hermite**, **Brioschi** **and** **Gordan**.

**By** **the** **x** **process** **of** **Aronhold** **we** **can** **form** **the** **invariant** **S** **for** **the** **cubic** **ay**+**XH**:, **and** **then** **the** **coefficient** **of** **X** **is** **the** **second** **invariant** **T**.

**To** **assist** **us** **in** **handling** **the** **symbolic** **products** **we** **have** **not** **only** **the** **identity** (**ab**) **cx** + (**bc**) **a** **x** + (**ca**) **bx** =0, **but** **also** (**ab**) **x** **x**+ (**b** **x**) **a** + (**ax**) **b** **x** = 0, (**ab**)**a**+(**bc**)**a** **s** +(**ca**)**a** **b** = 0, **and** **many** **others** **which** **may** **be** **derived** **from** **these** **in** **the** **manner** **which** **will** **be** **familiar** **to** **students** **of** **the** **works** **of** **Aronhold**, **Clebsch** **and** **Gordan**.

**This** **peculiarity** **is** **not** **an** **accident** **or** **a** **special** **property** **of** **the** **fourbar** **chain**, **but** **is** **an** **illustration** **of** **a** **general** **law** **regarding** **the** **subject** **discovered** **by** **Aronhold** **and** **Sir** **A**.